Застосування векторної алгебри для вирішення стереометричних задач підвищеної складності

Наше деловое партнерство www.banwar.org

розділи: Математика

У даній статті викладені методи вирішення завдань по стереометрії за допомогою елементів векторної алгебри. У навчальній літературі не часто зустрічається матеріал рішення стереометричних задач методами векторної алгебри. Це завдання на обчислення відносин, в яких січна площина ділить ребра багатогранника, обчислення відстаней від точки до прямої і площини, визначення відстані і кута між перехресними прямими, завдання на комбінацію багатогранників.

Завдання, про які йде мова, відібрані з книги С.А. Шестакова «Вектори на іспитах». За словами автора, ці завдання можна зустріти на вступних іспитах до ВНЗ, варіантах ЄДІ.

У статті наводяться необхідні теоретичні відомості, викладені основні алгоритми, засновані на властивостях векторів, представлено наочне рішення стереометричних задач.
Розглянемо методи вирішення завдань за допомогою векторної алгебри. Для цього нам необхідно знати наступні теоретичні відомості:

1. Розпад вектора за трьома даними некомпланарних векторах

Рішення будь-якої геометричної задачі на обчислення зводиться, по суті, до знаходження величини двох типів: відстаней і кутів. Якщо в просторі заданий деякий базис (зокрема, прямокутний), тобто трійка некомпланарних векторів, то вектор простору можна розкласти по векторах цього базису, причому єдиним чином. Якщо відомі довжини векторів, що утворюють базис, кути між ними і розкладання деякого вектора по векторах цього базису, то, використовуючи властивості скалярного твори, можна визначити довжину такого вектора і кут, утворений їм з будь-яким іншим вектором, розкладання якого по векторах цього базису відомо. Таким чином, вектори дозволяють знаходити рішення досить широкого класу геометричних задач, а вміння визначати розкладання вектора по базисних векторах є найважливішим фактором їх вирішення.

2. Завдання про відносини відрізків

Завдання про відносини відрізків це тип завдань, в яких потрібно визначити, в якому відношенні дана площину ділить будь - якої відрізок. Площина є січною площиною деякого багатогранника, а відрізком служить одне з ребер цього багатогранника. При вирішенні подібних завдань слід вибрати трійку базисних векторів (зазвичай пов'язаних з многогранником, наприклад, виходять з будь - якої його вершини). Потім необхідно ввести підлягають визначенню невідомі: їх в більшості випадків три, - одне дозволяє знайти шукане відношення, а два інших - коефіцієнти в умови компланарності деяких трьох векторів, що належать даній площині. Після цього, отримавши двома способами розкладання будь - якого вектора за базисними, потрібно, використовуючи єдиність розкладання прирівняти коефіцієнти в розкладах і отримати три рівняння з трьома введеними невідомими.

3. Довжина відрізка і кут між перехресними прямими

Як уже зазначалося, якщо в просторі заданий деякий базис, т. Е. Трійка некомпланарних векторів , , , То будь-який вектор можна єдиним чином розкласти по векторах базису так, що = X 1 • + Y 1 • + Z 1 • , Де x 1, y 1, z 1 - коефіцієнти розкладання. Якщо при цьому відомі довжини векторів , , і кут між ними, то, визначивши скалярні твори , , , • , • , • ( «Таблицю множення» векторів базису), можна обчислити скалярний квадрат вектора : = (X 1 • + Y 1 • + Z 1 • ) • (x 1 • + + Y 1 • + Z 1 • ), Який дорівнює квадрату його довжини, а потім і саму довжину вектора : = . Крім того, обчисливши за допомогою «таблиці множення» векторів базису скалярного твір • , Можемо визначити кут між векторами і , ) = .

4. Відстань від точки до прямої

Для того щоб знайти відстань MH від деякої точки M до прямої, досить, знати розкладання векторів (P l) і ( l) по деякому базису з відомою таблицею множення векторів базису. Справді, так як вектори і колінеарні, = X • , але тоді = - = X • - . І умови перпендикулярності векторів і отримуємо рівняння для визначення єдиної невідомої x в розкладанні вектора : = 0, або (x • - ) = 0. Знайшовши з цього рівняння x, ми тим самим знайдемо розкладання вектора по векторах обраного базису з відомою таблицею множення, і по формулі = визначимо шукане відстань.