1. Що значить звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу?
2. Способи звільнення від ірраціональності, приклади
3. Перетворення виразу в знаменнику дробу
4. Множення чисельника і знаменника на корінь
5. Множення на поєднане вираз
6. Використання формул сума кубів і різниця кубів
7. Використання різних способів

Наше деловое партнерство www.banwar.org

У 8 класі на уроках алгебри в рамках теми перетворення ірраціональних виразів заходить розмова про звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу. У цій статті ми розберемо, що це за перетворення, розглянемо, які дії дозволяють звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу, і наведемо рішення характерних прикладів з детальними поясненнями.

Що значить звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу?

Спочатку потрібно розібратися, що таке ірраціональність в знаменнику і що означає звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу. У цьому нам допоможе інформація з шкільних підручників [1, с. 96; 2, с. 74-75]. Заслуговують на увагу наступні моменти.

Коли запис дробу містить у знаменнику знак кореня (радикал), то говорять, що в знаменнику присутній ірраціональність. Ймовірно, це пов'язано з тим, що записані за допомогою знаків коренів числа часто є ірраціональними числами . Як приклад наведемо дроби , , , , Очевидно, знаменники кожної з них містять знак кореня, а значить і ірраціональність. У старших класах неминуча зустріч з дробом, ірраціональність в знаменники яких вносять не тільки знаки квадратних коренів, а й знаки кубічних коренів, коренів четвертого ступеня і т.д. Ось приклади таких дробів: , .

З огляду на наведену інформацію та зміст слова «звільнитися», дуже природно сприймається наступне визначення:

Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу - це перетворення, при якому дріб з ірраціональністю в знаменнику замінюється тотожно рівний дробом, яка не містить в знаменнику знаків коренів.

Часто можна чути, що говорять не звільнитися, а позбутися від ірраціональності в знаменнику дробу. Сенс при цьому не змінюється.

Наприклад, якщо від дробу перейти до дробу , Значення якої дорівнює значенню вихідної дробу і знаменник якої не містить знака кореня, то можна констатувати, що ми звільнилися від ірраціональності в знаменнику дробу. Ще приклад: заміна дроби тотожно рівний їй дробом є звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу.

Отже, початкова інформація отримана. Залишається дізнатися, що потрібно робити, щоб звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу.

Способи звільнення від ірраціональності, приклади

Зазвичай для звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу використовують два перетворення дроби: множення чисельника і знаменника на відмінне від нуля число або вираз і перетворення виразу в знаменнику. Нижче ми розглянемо, як ці перетворення дробів використовуються в рамках основних способів, що дозволяють позбутися від ірраціональності в знаменнику дробу. Торкнемося наступні випадки.

У найпростіших випадках досить перетворити вираз в знаменнику. Як приклад можна привести дріб, в знаменнику якої знаходиться корінь з дев'яти. У цьому випадку заміна його значенням 3 звільняє знаменник від ірраціональності.

У більш складних випадках доводиться попередньо виконувати множення чисельника і знаменника дробу на деякий відмінне від нуля число або вираз, що згодом дозволяє перетворити знаменник дробу до виду, який не містить знаків коренів. Наприклад, після множення чисельника і знаменника дробу на , Дріб приймає вид , А далі вираз в знаменнику можна замінити виразом без знаків коренів x + 1. Таким чином, після звільнення від ірраціональності в знаменнику дріб набирає вигляду .

Якщо говорити про загальний випадок, то щоб позбутися від ірраціональності в знаменнику дробу, доводиться вдаватися до різних допустимих перетворень, іноді, досить специфічним.

А тепер детальніше.

Перетворення виразу в знаменнику дробу

Як вже було зазначено, один із способів позбавлення від ірраціональності в знаменнику дробу складається в перетворенні знаменника. Розглянемо рішення прикладів.

Позбутися від ірраціональності в знаменнику дробу .

.

Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу .

.

Множення чисельника і знаменника на корінь

Коли вираз в знаменнику дробу має вигляд , Де вираз A не містить знаків коренів, то звільнитися від ірраціональності в знаменнику дозволяє множення чисельника і знаменника на . Ця дія можливо, так як не звертається до нуль на ОДЗ змінних для вихідного вираження. При цьому в знаменнику виходить вираз , Яке легко перетворити до вигляду без знаків коренів: . Покажемо застосування цього підходу на прикладах.

У разі, коли в знаменнику знаходяться множники або , Де m і n деякі натуральні числа, чисельник і знаменник треба помножити на такий множник, щоб після цього вираз в знаменнику можна було перетворити до вигляду або , Де k - деяке натуральне число, відповідно. Далі легко перейти до дробу без ірраціональності в знаменнику. Покажемо застосування описаного способу позбавлення від ірраціональності в знаменнику на прикладах.

а) Найближче натуральне число, що перевершує 3 і ділиться на 5, є 5. Щоб показник шістки став дорівнює п'яти, вираз в знаменнику треба помножити на . Отже, звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу буде сприяти вираз , На яке треба помножити чисельник і знаменник:

б) Очевидно, що найближчим натуральне число, яке перевищує 15 і при цьому ділиться без залишку на 4, це 16. Щоб отримати показник ступеня в знаменнику став дорівнює 16, потрібно помножити розташоване в ній вираз на . Таким чином, множення чисельника і знаменника вихідної дробу на (Зауважимо, значення цього виразу не дорівнює нулю при при яких дійсних x) дозволить позбутися від ірраціональності в знаменнику:

Множення на поєднане вираз

Наступний спосіб звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу покриває випадки, коли в знаменнику знаходяться вирази виду , , , , або . У цих випадках, щоб звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу, треба чисельник і знаменник дробу помножити на так зване поєднане вираз.

Залишилося дізнатися, які вислови є сполученими для зазначених вище. для вираження зв'язаних виразом є , А для вираження зв'язаних є вираз . Аналогічно, для вираження зв'язаних є , А для вираження зв'язаних є . І для вираження зв'язаних є , А для вираження зв'язаних є . Отже, вираз, поєднане цього виразу, відрізняється від нього знаком перед другим доданком.

Давайте подивимося, до чого призводить множення вираження на поєднане йому вираз. Для прикладу розглянемо твір . Його можна замінити різницею квадратів, тобто, , Звідки далі можна перейти до вираження a-b, яке не містить знаків коренів.

Тепер стає зрозуміло, як множення чисельника і знаменника дробу на вираз, поєднане знаменника, дозволяє звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу. Розглянемо рішення характерних прикладів.

Зверніть увагу: при множенні чисельника і знаменника дробу на вираз зі змінними, поєднане знаменника, потрібно подбати, щоб воно не зверталося в нуль ні при якому наборі значень змінних з ОДЗ для вихідного вираження.

Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу .

Для початку знайдемо область допустимих значень (ОДЗ) змінної x. Вона визначається умовами x≥0 і , З яких робимо висновок, що ОДЗ є безліч x≥0.

Вираз, поєднане знаменника, є . Ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу за умови, що , Яке на ОДЗ рівносильне умові x ≠ 16. При цьому маємо

А при x = 16 маємо .

Таким чином, для всіх значень змінної x з ОДЗ, крім x = 16, , А при x = 16 маємо .

Використання формул сума кубів і різниця кубів

З попереднього пункту ми дізналися, що множення чисельника і знаменника дробу на вираз, поєднане знаменника, проводиться для того, щоб в подальшому застосувати формулу різницю квадратів і тим самим звільнитися від ірраціональності в знаменнику. У деяких випадках для звільнення від ірраціональності в знаменнику виявляються корисними і інші формули скороченого множення . Наприклад, формула різниця кубів a3-b3 = (a-b) · (a2 + a · b + b2) дозволяє позбутися від ірраціональності, коли в знаменнику дробу знаходяться вирази з кубічними коренями виду або , Де A і B - деякі числа або виразу. Для цього чисельник і знаменник дробу множиться на неповний квадрат суми або на різницю відповідно. Аналогічно приміряється і формула сума кубів a3 + b3 = (a + b) · (a2-a · b + b2).

а) Нескладно здогадатися, що в даному випадку звільнитися від ірраціональності в знаменнику дозволяє множення чисельника і знаменника на неповний квадрат суми чисел і , Так як в подальшому це дозволить перетворити вираз в знаменнику за формулою різниця кубів:

б) Вираз в знаменнику дробу можна представити у вигляді , З якого добре видно, що це неповний квадрат різниці чисел 2 і . Таким чином, якщо чисельник і знаменник дробу помножити на суму , То знаменник можна буде перетворити за формулою сума кубів, що дозволить звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу. Це можливо зробити за умови , Яке рівносильне умові і далі x ≠ -8:

А при підстановці x = -8 в вихідну дріб маємо .

Таким чином, для всіх x з ОДЗ для вихідної дробу (в даному випадку це безліч R), крім x = -8, маємо , А при x = 8 маємо .

Використання різних способів

У прикладах складніше зазвичай не виходить в одну дію звільнитися від ірраціональності в знаменнику, а доводиться послідовно застосовувати метод за методом, в тому числі і з розібраних вище. Іноді можуть знадобитися і які-небудь нестандартні прийоми рішення. Досить цікаві завдання з обговорюваної теми можна знайти в підручнику під авторством Колягина Ю. Н. [3, с. 144, 146, 160]. Наприклад, там розібраний приклад позбавлення від ірраціональності в знаменнику дробу .

Забудьте про знаків коренів в знаменнику дробу .

.

Список літератури.

1. Алгебра: навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2009. - 215 с .: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Алгебра і початки математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий і профілі. рівні / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; під ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : Іл.- ISBN 978-5-09-022771-1.

Колись розбиратися?

Замовте рішення