Наше деловое партнерство www.banwar.org

Під алгеброю логіки будемо розуміти алгебру, утворену безліччю E = {0, 1} разом зі всœемі можливими операціями на цій множині.

На відміну від звичайної алгебри, породженої нескінченним безліччю дійсних чисел R, алгебра логіки базується на кінцевому безлічі E, що складається з двох елементів: 1 (''істіна'') і 0 (''ложь'').

Нехай А, В, С - довільні висловлювання, які розглядаються як величини, що приймають одне з двох логічних значень (1 або 0). Застосовуючи до них операції кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквівалентності і заперечення, можна отримати нові складні висловлювання, наприклад:

((А Ú В) Ù`С) ~ А ®. (1)

В алгебрі логіки, на відміну від звичайної мови, значення складного висловлювання повністю визначається значеннями його складових. Припустимо, що А - хибне висловлювання, В - істинне, С - хибне. Тоді висловлювання (1) є помилковим в силу определœенія логічних операцій.

Поряд з висловлюваннями, які беруть определœенние постійні значення (1 або 0) і званими постійними висловлюваннями, в алгебрі логіки розглядають змінні висловлювання, які не є такими. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, вводяться поняття логічних констант і змінних.

Так, у разі якщо X, Y, Z - логічні змінні то, застосовуючи до них операції кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквівалентності і заперечення, можна отримати формули алгебри логіки.

При завданні конкретних значень змінних формула приймає певне значення. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, кожна формула визначає деяку логічну функцію, змінними якої є змінні висловлювання.

Змінні і функції приймають тільки два значення (1 або 0), в зв'язку з цим логічні функції можна описати кінцевої таблицею, яку називають таблицею істинності.

Розглянуті вище логічні вирази визначають основні функції двох змінних f (x, y) формулами: x Ù y, x Ú y, х ® у, х ~ у, `x.Ніже наведено їх таблиця істинності (табл. 2.1).

Таблиця 2.1. Таблиця істинності базових функцій

x y x Ùy x Ú y х ® у x ~ y `x

Виконувати логічні операції потрібно в наступному порядку:

1) заперечення ( `);

2) кон'юнкція (Ù);

3) диз'юнкція (Ú);

4) імплікація (®);

5) еквівалентність (~).

Дужки, як і в звичайній алгебрі, змінюють даний порядок дій. З цієї причини вираз в дужках обчислюється в першу чергу, ᴛ.ᴇ. має більш високий пріоритет.

Приклад 1. Формулу F = x Ù y Ú z слід розуміти так:

F = (x Ù y) Ú z.

Можливий випадок, коли дві формули мають одну і ту ж таблицю істинності, ᴛ.ᴇ. визначають одну і ту ж логічну функцію. Такі формули називають рівносильними. При цьому кількість і склад змінних в формулах не обов'язково повинні збігатися.

Приклад 2. Наступні дві формули:

F1 = `y Ú z і F2 = ((x Ú y) Ù`z) ® (x ® y)

є рівносильними. Οʜᴎ визначають одну і ту ж функцію f (x, y, z), що випливає з таблиці 2.2.

У разі якщо всœе значення функції в таблиці істинності рівні 1, то функції прийнято називати тотожно істинною. Формула для такої функції прийнято називати тавтологією. Тавтологічні формули можна легко виявити за допомогою таблиць істинності.

Таблиця 2.2. Таблиця для рівносильних формул

• - Формули алгебри логіки.

  За допомогою логічних операцій над висловлюваннями із заданої сукупності висловлювань можна будувати різні складні висловлювання. При цьому порядок виконання операцій вказується дужками. Наприклад, з трьох висловлювань х, у, z можна побудувати висловлювання: ... [Читати далі] .



• - Формули алгебри логіки

  Висловлювання і логічні операції над ними. Поняття висловлювання є основним невизначені поняттям математичної логіки. Під висловом розуміють будь-оповідної пропозицію, про який можна сказати істинно воно або помилково в даних ... [Читати далі] .



• - Рівносильні формули алгебри логіки

  Варіант 6. Варіант 5. Варіант 4. Варіант 3. Варіант 2. Варіант 1. Варіант 2. Приклад №4 Підприємець вирішив придбати комп'ютери для своєї фірми. При цьому він грунтувався на працездатність ПК .... [Читати далі] .



• - ТЕМА 2 ФОРМУЛИ АЛГЕБРИ ЛОГІКИ

  2.1 Рівносильні формули алгебри логіки 2.2 Закони алгебри логіки Як і в елементарній математиці з «елементарних» булевих функцій за допомогою логічних операцій можна будувати формули. У цьому розділі вивчаються формули алгебри логіки. ... [Читати далі] .



• - ТЕМА 2 ФОРМУЛИ АЛГЕБРИ ЛОГІКИ

  2.1 Рівносильні формули алгебри логіки 2.2 Закони алгебри логіки Як і в елементарній математиці з «елементарних» булевих функцій за допомогою логічних операцій можна будувати формули. У цьому розділі вивчаються формули алгебри логіки. ... [Читати далі] .



• - Рівносильні формули алгебри логіки.

  Наведемо визначення формули алгебри логіки. 1) кожна «елементарна» булева функція - формула; 2) якщо деякий вираз N є формула, то теж формула; 3) якщо деякі вирази M і N є формули, то вирази,,, теж формули; 4) інших формул, крім побудованих ... [Читати далі] .



• - Формули алгебри логіки

  За допомогою логічних операцій над висловлюваннями із заданої сукупності висловлювань можна будувати різні складні висловлювання. При цьому порядок виконання операцій вказується дужками. Наприклад. з трьох висловлювань х, у, z можна побудувати висловлювання ... [Читати далі] .



• - Рівносильні формули алгебри логіки.

  Визначення. Дві формули алгебри логіки А і В називаються рівносильними, якщо вони приймають однакові логічні значення на будь-якому наборі значень вхідних у формули елементарних висловлювань. Равносильность формул будемо позначати знаком º, а запис А º У ... [Читати далі] .



• - Здійснимість формули алгебри логіки

  Всі формули алгебри логіки діляться на три клас: 1. тотожне справжні або тавтології: 2. тотожне помилкові або протиріччя; 3. здійсненні. Формулу називають тотожно істинною (тавтологією), якщо вона приймає значення істинно при будь-яких значеннях вхідних в неї ... [Читати далі] .