Наше деловое партнерство www.banwar.org

Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

Алгебра множин в теорії множин - це непорожня система підмножин, замкнута щодо операцій доповнення (різниці) і об'єднання (суми) .

Сімейство A ⊂ 2 X {\ displaystyle {\ mathfrak {A}} \ subset 2 ^ {X}} підмножин безлічі X {\ displaystyle X} (Тут 2 X {\ displaystyle 2 ^ {X}} - булеан ) Називається алгеброю, якщо воно задовольняє наступним властивостям:

1. ∅ ∈ A. {\ Displaystyle \ varnothing \ in {\ mathfrak {A}}.}
2. Якщо безліч A ∈ A {\ displaystyle A \ in {\ mathfrak {A}}} , То і його доповнення X ∖ A ∈ A. {\ Displaystyle X \ setminus A \ in {\ mathfrak {A}}.}
3. об'єднання двох множин A, B ∈ A {\ displaystyle A, B \ in {\ mathfrak {A}}} також належить A. {\ Displaystyle {\ mathfrak {A}}.}

Алгебра подій (в теорії ймовірностей ) - алгебра підмножин простору елементарних подій Ω {\ displaystyle \ Omega} , Елементами якого служать елементарні події .

Як і належить алгебрі множин алгебра подій містить неможлива подія ( порожня множина ) І замкнута щодо теоретико-множинних операцій , Вироблених в кінцевому числі. Досить зажадати, щоб алгебра подій була замкнута щодо двох операцій, наприклад, перетину і доповнення , З чого відразу піде її замкнутість щодо будь-яких інших теоретико-множинних операцій. Алгебра подій, замкнута щодо рахункового числа теоретико-множинних операцій, називається сигма-алгеброю подій .

У теорії ймовірностей зустрічаються такі алгебри і сигма-алгебри подій:

Подія A + B {\ displaystyle A + B} або A ∪ B {\ displaystyle A \ cup B} , Полягає в тому, що з двох подій A {\ displaystyle A} і B {\ displaystyle B} відбувається принаймні одне, називається сумою подій A {\ displaystyle A} і B {\ displaystyle B} .

імовірнісний простір - це алгебра подій із заданою функцією ймовірності P {\ displaystyle \ mathbb {P}} , тобто сигма-адитивною кінцевої мірою , Областю визначення якої є алгебра подій, і P (Ω) = 1 {\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Omega) = 1} .

Будь-яка сигма-адитивна ймовірність на алгебрі подій однозначно триває до сигма-адитивною ймовірності, певної на сигма-алгебри подій, породженої даної алгеброю подій.