Про формулу, яка описує класичний ефект Доплера

Наше деловое партнерство www.banwar.org

Олег Акімов

Нагадаємо, що називається ефектом Доплера. Якщо джерело звукових або світлових хвиль покоїться щодо однорідного середовища, де поширюються коливання, то довжина хвилі λ (λ - відстань межу двома однаковими фазами коливань) в усіх напрямках буде однією і тією ж. Але варто джерела коливань повідомити рух в якомусь заданому напрямку, як тут же довжина хвилі буде змінюватися в залежності від величини швидкості джерела і напрямки прийому хвиль. Зміна довжини хвилі станеться і в тому випадку, якщо джерело спочиває, а приймач переміщується. Оскільки довжина хвилі (λ), період (T) і частота коливань (f) взаємопов'язані (λ = c / f = cT), то можна говорити про зміну T і f. Для аналізу проблеми нам досить розглянути рухомим тільки джерело і оперувати λ, а потім отримані результати поширити на приймач, T і f.

Зі шкільної лави нам знайома нехитра формула, якою користуються і професійні вчені:

. (1)

Формула (1) описує прийняту довжину хвилі (λ '), якщо відома власна довжина хвилі (λ) рухається з відносною швидкістю (β = v / c) джерела коливань і кут між векторами v і c (φ). Повне виведення формули (1) наводиться в Додатку до даної статті, з якого випливає, що вона є наближеним математичним виразом. Її висновок ґрунтується на припущенні, що відстань між джерелом і приймачем велике в порівнянні з довжиною хвилі.

Давайте запитаємо себе: як буде виглядати математичний вираз, коли джерело і приймач знаходяться поблизу один одного? У довідниках і підручниках з фізики нічого не говориться про випадки, коли на проміжку між джерелом коливання і приймачем укладається всього одна, дві або три довжини хвилі. Ми не знаємо, чи можна користуватися формулою (1), якщо між джерелом і приймачем укладається 100 довжин хвиль, а може бути вона дає неприпустиму похибка вже на 1000 довжин хвиль? Іншими словами, при викладі теми «Ефект Доплера» не вказується, по-перше, кількісний критерій дії формули (1) і, по-друге, математичне вираз, яким необхідно скористатися, коли формула (1) не діє або дає дуже велику похибку.

Друга проблема, яка тут виникає, формулюється в такий спосіб. Чому вираз (1) ніяк не реагує на появу ударної хвилі, тобто коли швидкість джерела стає більше швидкості поширення коливань (β> 1)? Ще в XIX столітті Ернст Мах, вивчаючи рух кулі, що рухається в повітрі швидше звуку, встановив, що кут при вершині конуса ударної хвилі визначається відносною швидкістю β:

sin θ = 1 / β = c / v (2)

Формули (1) і (2) ніяк не пов'язані, хоча з точки зору безперервності фізичного процесу (монотонного збільшення швидкості руху джерела: v → ∞) вираз (2) є прямим наслідком процесу, описуваного виразом (1).

Зазначені проблеми можна легко вирішити, якщо згадати, що формула, що описує ефект Доплера, являє собою математичний вираз векторного додавання двох швидкостей - v і c. Нижче дається простий висновок точної і універсальної формули, справедливою для всіх значень швидкості руху джерела (0 v

Мал. 1. Креслення (а) являє собою застигле зображення процесу поширення хвиль при рухомому джерелі коливань (i). Поки хвильовий фронт, випущений з точки 0, дійде до точки А, джерело коливань i виявиться в точці В. Щоб знайти вираження для векторної суми векторів v і c, на кресленні (б) показаний допоміжний прямокутний трикутник.

На рис. 1 а викреслений застиглий в довільний момент динамічний процес поширення хвиль. На одній з околиць - неважливо який, оскільки всі трикутники 0АВ будуть подібними, - обрана точка А. Сторони трикутника 0А і 0В відповідають швидкостям v і c; потрібно по двох сторонах трикутника 0АВ знайти третю - АВ. Для вирішення цього завдання трикутник 0АВ добудовуємо до прямокутного 0АС, як показано на рис. 1 б. З останнього креслення знаходимо відрізки a = v sin θ і b = v cos θ. По теоремі Піфагора складаємо рівність:

.

Якщо в останній вираз підставити значення a і b, отримаємо шукану швидкість c ':

. (3)

Помноживши обидві частини рівності (3) на період коливань Т, отримуємо змінилася за рахунок ефекту Доплера довжину хвилі λ ', яку зручно виразити через параметр β:

. (4)

Формула (4) є істинне, абсолютно точний вираз, що описує ефект Доплера для будь-яких значень параметра β. Те, що формула (4) є саме виразом для суми двох векторів v і c, можна легко переконатися, якщо її представити через кут φ між v і c. Для цього потрібно до трикутника 0АВ застосувати теорему косинусів:

. (5)

З точки зору математики вираження (4) і (5) відображають один і той же математичний факт, однак з точки зору фізики було б помилкою вважати φ кутом спостереження; їм є кут θ. Це прекрасно видно в разі, коли виникає ударна хвиля. На рис.2 видно, що конус ударної хвилі переміщується разом з джерелом коливань. Значить, для отримання формули Маха (2) і тісно пов'язаної з нею формулою (4) потрібно перейти з нерухомої системи координат (x, y) в штрихованої систему координат (x ', y'), початок якої поєднане з рухомим джерелом хвиль.

Мал. 2. Креслення, що дозволяє отримати формулу (2) для визначення кута θ при вершині конуса ударної хвилі

Якщо замість теореми косинусів скористатися теоремою синусів, яка дає рівність: sin (θ - φ) = βsinθ, а потім ці синуси висловити через косинуси (подробиці тут ), То можна отримати ще одне математичне вираз, в якому будуть фігурувати вже як кут спостереження (θ), так і кут між швидкостями v і c (φ):

λ '= λ [cos (θ - φ) - βcosθ] (6)

З виразу (6) слід: чим менше різниця між кутами: (θ - φ) → 0, то з більшим правом ми можемо користуватися традиційною формулою (1).

Для отримання формули (4) ніякого спостерігача або приймача не потрібно. Система концентричних кілець зі зміщеними центрами утворюється і без них. Головне, що тут потрібно, це висловити довільно взяту окружність коректним чином. Стара формула (1), як ми побачимо нижче, є рівнянням кардіоїди в полярній системі координат, а отримане нами вираз (4) є рівнянням кола. Для цього рівняння кут θ є вільним параметром або аргументом, а сприймається приймачем довжина хвилі λ 'або сторона АВ, зображеного на рис. 1а трикутника, є радіус-вектором або функцією для зазначеного аргументу.

Справді, з рис. 1а можна записати:

0А = λ, 0В = βλ і АВ = λ '.

У декартовій системі координат (x ', y') з початком в центрі В, рівняння кола виглядає наступним чином:

(X '+ βλ) 2 + (y') 2 = λ2.

Зробимо перехід від декартових координат до полярних за формулами:

(λ ') 2 = (x') 2 + (y ') 2, x' = λ'cosθ, y '= λ'sinθ.

Тоді наше рівняння кола матиме вигляд:

(Λ ') 2 + 2βλλ'cosθ - λ2 (1 - β2) = 0.

Перед нами звичайне квадратне рівняння, вирішуючи яке відносно невідомої λ ', ми отримуємо формулу (4).

Окружність виходить і в тому випадку, якщо для функції λ 'вираження (4) побудувати графіки залежності від аргументу θ, який змінюється в межах від 0 до 2π. Графіки цієї залежності (рис. 3) для β = 3/4 (а) і β = 1 (б) зайвий раз підтверджує, що ми маємо справу дійсно з колами, які можна бачити, наприклад, на поверхні озера, коли по ній біжить водомір. Однак традиційний вираз (1), що приводиться в усіх сьогоднішніх довідниках і підручниках, окружності не дає. При тих же значеннях β хвильовий фронт як функція λ 'від аргументу θ породжує криві (в, г), які в математиці називаються кардіоїд.

Мал. 3. Форма хвильового фронту при Доплер-ефект, розрахована за формулою (4) при β = 3/4 (а), β = 1 (б); за формулою (1) при β = 3/4 (в), β = 1 (г). Для випадку появи ударної хвилі: за формулою (4) при β = 2 (д), β = 3 (е); за формулою (1) при β = 2 (ж), β = 3 (з).

Найважливіше, що точна формула (4) прекрасно працює і в разі ударної хвилі. Хвильовий фронт зберігає форму кола при будь-якому значенні β, зокрема, при β = 2 (д) і β = 3 (е). Зверніть увагу, радіуси обох кіл однакові і дорівнюють одиниці, тільки в разі (д) центр кола віднесений на відстань, що дорівнює двом, а для випадку (е) - трьом, що цілком логічно. Таким чином, формула (4) в точності слідує тому, що повсюдно спостерігається в природі: зі збільшенням швидкості руху джерела зліва направо кола, природно, все далі і далі зміщуються вліво від джерела. Формула Маха (2) також природно випливає з формули (4). Якщо подкоренное вираз виявиться негативним, то коріння з нього будуть уявними. Уявні величини не мають фізичного сенсу, тому на подкоренное вираз накладається умова:

1 - β2 sin2θ ≥ 0, sinθ ≤ | ± 1 / β | або θ ≤ arcsin | ± 1 / β |.

На графіках (д) і (е) показані неповні кола, які не мають певного фізичного сенсу. Проте, ці уявні хвилі були залишені на кресленні, оскільки їх кінці точно вказують точки дотику реальних хвиль з конусом ударної хвилі. На двох останніх графіках зображені криві, накреслені відповідно до традиційної формулою (1) при тих же значеннях β = 2 (ж) і β = 3 (з). Як бачимо, нічого близького з дійсністю ці графіки не мають.

Обговорювана в даній роботі проблема викладена в підручнику [1].

додаток

Висновок традиційної формули, яка описує
класичний ефект Доплера

Тут ми покажемо, що традиційна формула, що описує ефект Доплера, не просто не точна, а, по суті справи, є хибною. З цією метою Викреслити рис. 4.

Мал. 4. Креслення, що роз'яснюють помилковість висновку традиційної формули Доплера для рухомого джерела коливань.

Отже, хвиль, випущених з точки 0, прийшла в точку А через час 0А / с. Наступна хвиля, народ через період T після першої, випускається в точці, розташованій на відстані vT правіше точки 0. Далі використовується наближена рівність кутів φ = А0В і φ1, який виник при невеликому зсуві джерела коливань. Замість нового кута φ1 використовується старий кут φ. За нове відстань між джерелом і приймачем приймається величина, що дорівнює 0А - vT cosφ. Тоді нова хвиля прийде в точку прийому А в момент часу T ':

T '= (0А - vT cosφ) / c = T (1 - βcosφ).

Після множення обох частин цієї рівності на с, приходимо до традиційної формулою (1), у якій кут φ є кутом спостереження.

Помилка в цих міркуваннях цілком очевидна. Так, дійсно, час проходу першої хвилі (Т) від часу проходу другої хвилі (T ') відрізняється ненабагато і наближене рівність φ = φ1 тут брати допустимо. І завжди між сусідніми кутами різниця невелика, тому буде справедлива нескінченна ланцюжок рівностей: φ = φ1, φ1 = φ2, φ2 = φ3 і т.д. Однак за великий проміжок часу помилка набігає значна і вже, наприклад, рівність φ = φ100 буде занадто грубим.

Іншими словами, формула (1) вірна для довжин хвиль, випущених джерелом, який перемістився на крихітне відстань. Якщо ж він зсувається на великі відстані, зокрема, на відстань 0В, то формулу (1) вже не можна використовувати, як і не можна вважати в ній параметр φ кутом спостереження. Формула (4) дає модуль векторного додавання двох швидкостей v і з, а у формулі (1) фігурує тільки проекція вектора v на вектор с, яка була введена на самому початковому етапі виведення, коли записувалося вираз 0А - vT cosφ, або інакше, з - v cosφ. Природно, що ніяких кіл формула (1) дати не може.

Таким чином, узагальнені формули Доплера:

, .

мають справу не сумою двох векторів, а з їх проекціями. Автор цих формул (він історикам науки ніхто не знає), очевидно, вважав, якщо до відносними швидкостями β1 і β2 приписати за відповідним косинусу cosθ1 і cosθ2, то тим самим буде врахована всіляка спрямованість векторів v 1 і v 2, Він думав, напевно, що на зміну довжини хвилі λ 'і частоти коливань f' може впливати лише проекції швидкостей v 1 і v 2 на вектор c, тобто величини v пр1 і v ПР2 (рис. 5), а не самі векторні різниці: c - v 1 і c - v 2.

Мал. 5. Традиційно ефект Доплера пояснюється за рахунок додавання вектора швидкості поширення хвилі (c) з проекціями швидкостей джерела v пр1 і приймача v ПР2 (а). Реально ж необхідно робити дії не з проекціями швидкостей, а з самими векторами v 1 і v 2. Зокрема, при русі тільки джерела i зміна довжини хвилі в напрямку спостерігача A відбудеться пропорційно різниці швидкостей c - v 2; формула же c - v ПР2 була б тут помилковою.

Важко сказати, про що думав автор традиційних формул, тільки користуватися виразами, які замість кіл дають кардіоїди, далі неможливо. Реконструкція його міркувань, що відображається рис. 4 і рис. 5, можливо, була іншою. Купряев Н.В. запропонував [2] інший варіант виведення формули (1).

Нехай джерело коливань (i) рухається зі швидкістю V вздовж осі x. Приймач коливань знаходиться в точці p, як показано на рис. 6. На відстані 0p між джерелом і приймачем укладається N довжин хвиль (λ). Тоді за один період (Т) джерело i переміститься на відстань VT.

Мал. 6. До висновку наближеною формули (1) по Н.В. Купряеву.

Безпосередньо з креслення (рис. 6) Купряев Н.В. становить вираз:

,

Вирішуючи його щодо τ, він отримує:

.

Для знаходження частоти коливань ν потрібно знайти межа від зворотної величини τ:

.

В результаті Купряев Н.В. отримує традиційну формулу для ефекту Доплера наближеного характеру:

,

де - спостерігається частота, - власна частота випромінювання джерела. Точна ж формула для спостережуваної частоти ν, яка виходить з формули суми двох векторів v і c, виглядає інакше:

.

Як бачимо, Н.В. Купряев привів більш загальне, але разом з тим і більш складне доведення традиційної формули Доплера. Він передбачає, що на відрізку шляху від джерела до приймача (на рис. 4 це відстань 0А, на рис. 6 - 0Р) укладається не одна хвиля, а безліч - N. Причому традиційний вираз у нього вийде тільки за умови, якщо N → ∞. Щоб краще відчути різницю між останнім виразом і передостаннім, звернемося до чисел.

Нехай β = cosθ = 0,5 і власна частота випромінювання дорівнює νi = 100. Тоді за традиційною формулою спостерігається частота дорівнює ν = 133,33. Тепер скористаємося формулою, виведеною Н.В. Купряевим. Нехай на відрізку від джерела до приймача укладається тисяча довжин хвиль, тобто N = 1000. При цьому значенні N спостерігається частота дорівнює ν = 133,22, що не набагато відрізняється від результату, отриманого за традиційною формулою. Якщо N = 100, розрив злегка збільшується: ν = 132,16. Але при N = 3, маємо вже ν = 66,67, а при N = 2 і N = 1 сприйняту частоту взагалі неможливо визначити, так як подкоренное вираз стає негативним, тобто формула Н.В. Купряева перестає працювати.

Якщо ж обчислення вести по єдино правильною формулою, що не залежить від числа N, то отримаємо ν = 153,56. І це не найбільша розбіжність між результатами, які дають дві криві - окружність і кардіоїда. Порівняйте рис. 3 б і рис. 3 г (β = 1, cosθ = 0). На них видно, що коли кардіоїда дає ν = 100, окружність дасть ν = ∞ (λ = 0), що відповідає проходженню джерелом хвиль звукового бар'єру.

У зв'язку з вищевикладеним, виникає питання: чому точна формула (4) не балу виведена з самого початку відкриття ефекту Доплера? Адже, здавалося б, ефект дає про себе знати всюди, оскільки рухомі джерела і приймачі хвиль зустрічаються і в воді, і в повітрі, і в космосі. Хіба можна собі уявити, щоб така потрібна і в той же час помилкова формула могла існувати більш століття? Зрозуміло, що виникнення фронту ударної хвилі є всього лише наслідок безперервного зростання швидкості рухомого джерела хвиль, які відчувають доплерівську трансформацію. Тоді чому фізики кінця XIX - початку XX ст. не скористалися формулою (4) і не пов'язали її з формулою Маха (2)?

Справа в тому, що формулою (1) в практичних розрахунках ніхто особливо і не користується. Через реальної неоднорідності води і повітря, їх безперервної динаміки інженери користуються спеціальними таблицями, складеними на основі емпіричних даних. Погляньте на рис. 7, де показані шари земної атмосфери. Зі збільшенням висоти над поверхнею Землі температура коливається досить в широкому діапазоні, а це значить, що щільність повітря теж буде помітно коливатися. І це крім того, що є природний градієнт тиску, викликаний силою тяжіння Землі: на кожні 20 кілометрів висоти тиск знижується приблизно в 10 разів. Швидкість поширення звуку залежить від щільності і швидкості переміщення повітря, але через непередбачуваність погоди апріорне теоретичний розрахунок практично неможливий. На практиці користуються апроксимувати виразами лінійного характеру. Коли ж потрібна точність, вдаються до градуировке шкали за зразком швидкості, мину будь-які математичні вирази.

.

Мал. 7. Зміна щільності і температури повітря в залежності від висоти над поверхнею Землі. Нерівномірність нагрівання атмосфери сприяє загальної циркуляції повітря, яка впливає на погоду і клімат Землі.

З кількісної точки зору картина Виглядає Наступний чином. Прийнято ШВИДКІСТЬ Поширення акустичних коливання в повітрі при температурі t = 0 ° С і тиску P = 1 атм. дорівнює v = 331,5 м / с. При підвищенні температури повітря на 10 ° С швидкість звуку збільшується приблизно на 6 м / с, так що при кімнатній температурі (t = 20 ° С) швидкість звуку дорівнюватиме 343 - 344 м / с. Нагадаємо, швидкість звуку визначається формулою v = (μ / ρ) ½, де μ - модуль пружності і ρ - щільність повітря. Поривчастий вітер з Δv = 3 - 5 м / с здатний помітно спотворити кругової хвильовий фронт не тільки за рахунок швидкості переміщення середовища, але і за рахунок локального зміни в ній тиску в 2 - 4 рази. Проте максимальні спотворення дини хвилі або частоти коливань відбуваються за рахунок перепаду тиску в прилеглій області до рухомого випромінювача: тиск підвищується по ходу його руху і знижується в протилежному напрямку. Таким чином, більш-менш точне вимірювання швидкості рухомих в повітрі об'єктів (автомобілів і літаків) на основі звукового Доплер-ефекту проблематично. Тому, наприклад, міліцейські радари (Іскра-1, ПКС-4, ЛІСД-2, Бар'єр-2М, Сокіл, Беркут та т.д.) не працюють в звуковому діапазоні, а використовують електромагнітні випромінювачі в Х- і К-діапазоні ( 10 - 100 ГГц).

Ситуація з водною стихією виглядає ще більш гнітюче, так як швидкість поширення акустичних хвиль в морській воді становить майже півтори тисячі метрів в секунду (v = 1490 м / с при t = 20 ° С). Отже, для точної кількісної оцінки Доплер-ефекту випромінювач повинен переміщатися з набагато більшою швидкістю, ніж в повітрі, що зробити вкрай важко. Про складність обчислень в разі неоднорідної і постійно рухається середовища, якою є атмосфера землі і світовий океан, розповідається, наприклад, в книзі Д.І. Блохінцева [3]. Автор розглядає проблему переважно з теоретичної точки зору, причому підходить до неї з боку надто абстрактної і формалізованої. Отримані ним громіздкі вирази важко піддаються фізичному інтерпретації. Оскільки Блохінцева не відома точна формула Доплера, то все його теоретичні міркування, з позиції розглянутого тут питання, не мають великої цінності. Книга значно виграла б, якби автор більше привів емпіричного матеріалу. Проте, Блохінцева вдалося змалювати ті труднощі, які чекають дослідника, який присвятив себе цій тематиці.

Таким чином, експериментальна перевірка точної формули (4), яка описує ефект Доплера, на основі акустичних коливань, що поширюються в повітряному і водному середовищі так само складна, як і на основі електромагнітних (світлових) хвиль. Але природа подарувала нам унікальний випадок, коли ефект Доплера стає гарно видно, як то кажуть, неозброєним оком. Це - поширення хвиль на поверхні води від переміщається по водній гладі поплавка, рівномірно занурюється в воду і виринає з неї. В цьому випадку ми спостерігаємо динамічну картину (рис. 8), яка в точності повторює «застиглий» процес, відображений на рис. 1.

Противники точної формули (4) через очевидність і простоти отримання картини називають дану фізичну модель Доплер-ефекту чисто геометричній і не хочуть присвоювати їй фізичний статус. Ці вимоги не можна визнати законними. Перш їм необхідно довести, що хвильовий фронт для реальних коливань не дає окружності і сфери; для двовимірного випадку вони повинні обґрунтувати існування кардіоїди. Зрозуміло, цього довести вони не в силах, а інерція мислення не дозволяє їм відмовитися від старої формули (1) на користь нової (4).

Питання ефекту Доплера розглядаються також на наступних сторінках:

1. Акімов О.Е. Природознавство: Курс лекцій. - М .: ЮНИТИ-ДАНА, 2001..
2. Купряев Н.В. Класичний ефект Доплера. SciTecLibrary.ru, # 8803, 25.12.2007.
3. Блохинцев Д.І. Акустика неоднорідною рухомого середовища. Друге видання. - М .: Наука, 1981.