1. Імовірність суми двох подій Нехай A і B - два довільних події у випадковому експерименті з безліччю...
2. Незалежність двох подій. Імовірність добутку двох незалежних подій

Імовірність суми двох подій

Наше деловое партнерство www.banwar.org

Нехай A і B - два довільних події у випадковому експерименті з безліччю елементарних фіналів Ω.

Справедливо наступне твердження.

Твердження 1. Імовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій мінус ймовірність їх твори .

Іншими словами, правильна формула:

Доведення. Розглянемо діаграми Ейлера - Венна для суми двох подій і твори двох подій , Розмістивши їх на одному малюнку (рис.1).

рис.1

Проведемо доказ твердження 1 на прикладі геометричного визначення ймовірності .

Якщо площа довільної фігури F позначити символом S (F), то з малюнка 1 легко встановити справедливість рівності:

яке словами можна виразити так: «Площа фігури A + B дорівнює сумі площ фігур A і B мінус площа фігури ».

Якщо обидві частини рівності (2) розділити на число S (Ω), то ми отримаємо рівність

В силу геометричного визначення ймовірності справедливі формули

за допомогою яких рівність (3) перетвориться до виду (1), що і завершує доказ твердження 1.

Доведення твердження 1 для класичного визначення ймовірності проводиться аналогічним чином, і ми залишаємо його читачеві в якості корисного вправи.

несумісні події

Визначення. Дві події A і B називають несумісними, якщо вони не перетинаються.

Іншими словами, події A і B несумісні, якщо

Зауваження 1. Події A і B несумісні в тому, і тільки в тому випадку, якщо подія B є підмножиною події , тобто .

Зауваження 2. Події A і B несумісні в тому, і тільки в тому випадку, якщо подія A є підмножиною події , тобто .

Зауваження 3. Якщо події A і B несумісні, то ймовірність їх твори дорівнює нулю.

Іншими словами, для несумісних подій A і B вірна формула

Зауваження 4. Якщо події A і B несумісні, то ймовірність суми подій A + B дорівнює сумі ймовірностей подій A і B.

Іншими словами, для несумісних подій A і B вірна формула

P (A + B) = P (A) + P (B)

Незалежність двох подій. Імовірність добутку двох незалежних подій

Дві події A і B називають незалежними, якщо поява однієї з цих подій ніяк не впливає на ймовірність появи другої події.

Зауваження 5. несумісні події і незалежні події - це абсолютно різні поняття, і їх не слід плутати.

Справедливо наступне твердження.

Твердження 2. Імовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей.

Іншими словами, для двох незалежних подій A і B вірна формула

Проілюструємо справедливість формули (4) на прикладі.

Приклад 1. Випадковий експеримент полягає в підкиданні двох гральних кісток . Одна з гральних кісток пофарбована в синій колір, інша - в червоний. знайти ймовірність того, що на синьої гральної кістки випаде число 3, а на червоній гральної кістки випаде число 4.

Рішення. Сформуємо таку таблицю, в якій записані всі 36 можливих варіантів пар чисел, що випадають при підкиданні двох гральних кісток. Перший рядок таблиці - це числа, що випали при киданні синьою кістки, а перший стовпець таблиці - це числа, що випали при киданні червоною кістки. На перетині рядка і стовпця вказана пара чисел, що випали на двох кістках.

1 2 3 4 5 6 1 + 1, 1 + 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 2 + 2, 1, 2, 2 + 2 3 2, 4 2, 5 2, 6 3 3, -1 3, 2, 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 4 4, 1 4, 2 4, 3, 4, 4 4, 5 4, 6 5 з 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4, 5, 5 з 5, 6 6 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5, 6, 6

Сприятливим є тільки один результат, а саме, клітина з результатом 4, 3, пофарбована в таблиці жовтим кольором. Отже, ймовірність події, що складається в тому, що на синьої гральної кістки випадає число 3, а на червоній гральної кістки випадає число 4, дорівнює .

Тепер розглянемо випадковий експеримент, описаний в прикладі 1, з іншого боку. Для цього позначимо літерою A випадкова подія, що полягає в тому, що на синьої гральної кістки випадає число 3, а буквою B - випадкова подія, що полягає в тому, що на червоній гральної кістки випадає число 4. Події A і B є незалежними подіями, а їх ймовірності рівні:

подія полягає в тому, що на синьої гральної кістки випаде число 3, а на червоній гральної кістки випаде число 4. оскільки,

то в розглянутому випадковому експерименті по підкидання двох гральних кісток формула (4) вірна.

На закінчення наведемо ще одну ілюстрацію застосовності формули для ймовірності суми двох подій і формули для ймовірність добутку двох незалежних подій .

Приклад 2. Два стрільці стріляють по мішені. Перший стрілок вражає мішень з імовірністю 0,9. Другий стрілок вражає мішень з імовірністю 0,8. Знайти ймовірність того, що мішень буде вражена.

Рішення. Позначимо буквою A випадкова подія, що полягає в тому, що в мішень потрапляє перший стрілок, а буквою B позначимо випадкова подія, що полягає в тому, що в мішень потрапляє другий стрілок. Тоді подія A + B означає, що мета вражена, а подія означає, що в мішень потрапили обидва стрілка. За умовою

P (A) = 0,9 і P (B) = 0,8

а оскільки події A і B незалежні, то в силу формули (4)

скориставшись формулою (1) , знаходимо

Відповідь: 0,98

На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «резольвенту» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ і ОГЕ з математики .

Запрошуємо школярів (можна разом з батьками) на безкоштовне тестування з математики, що дозволяє з'ясувати, які розділи математики і навички у вирішенні завдань є для учня «проблемними».

Запис по телефону (495) 509-28-10

Для школярів, що бажають добре підготуватися і здати ЄДІ або ОГЕ з математики або російській мові на високий бал, навчальний центр «резольвенту» проводить

У нас також для школярів організовані

МОСКВА, СВАО, Навчальний центр «резольвенту»