Категории

Cуществуют следующие способы оплаты за занятия:

  • Абонемент на 8 посещений (срок действия 1 месяц) - 300 грн.;
  • Абонемент на 4 посещения (срок действия 1 месяц) - 200 грн.;
  • Абонемент на 12 посещений(срок действия 1 месяц) - 400 грн.;
  • Разовое посещение - 60 грн.
(ДЛИТЕЛЬНОСТЬ ЗАНЯТИЙ ПО 1,5 ЧАСА)

Наближено - не означає неточно

точність знання

Кожен учень знає, що закони природи можуть бути описані математичними залежностями, що зв'язують чисельні значення тих чи інших величин. Зауважимо, що при обчисленнях ми завжди використовуємо кінцеві десяткові або звичайні дроби, які є поданням раціональних чисел. Отже, в силу принципових обмежень нашого способу обчислень ми не можемо працювати з ірраціональними числами. Кожен учень знає, що закони природи можуть бути описані математичними залежностями, що зв'язують чисельні значення тих чи інших величин Це - перше джерело помилок, якщо не брати до уваги обмежену точність, з якою відомий сам закон. Друге джерело - експериментальні похибки. Таким чином, ми повинні віддавати собі звіт в тому, що наші опису і наше знання як таке є неточними, а лише наближеними, і питання про роботу з неточними даними є ключовим. Аналіз "якості" наближення дає математична статистика. Отримання самих наближень - завдання апроксимації та інтерполяції. Ці завдання природним чином пов'язані c поданням даних в графічному вигляді.

подання даних

У самих різних областях науки і техніки прийнято представляти дані у вигляді графіків, поверхонь, годографов. Це не дивно: саме так людина сприймає функціональні залежності. Отримувані в експерименті або взяті з довідників значення величин часто характеризуються помітним розкидом, і ряди таких значень потрібно перетворити в гладкі залежності. У самих різних областях науки і техніки прийнято представляти дані у вигляді графіків, поверхонь, годографов Використання таблиць пов'язано з необхідністю інтерполяції. Завдання, при вирішенні яких ми маємо справу з декількома значеннями, інтерпольованого на калькуляторі або вручну, здебільшого вже вирішені. Більш складні завдання, в яких інтенсивно використовуються таблиці значень величин, найчастіше зустрічаються сьогодні в практиці дослідника. Якщо розрахунок робиться одноразово, за один прохід програми, то можна працювати з таблицею, яка зберігається на диску. У разі інтенсивних багаторазових (ітераційних) обчислень таблицю доводиться зберігати в оперативній пам'яті, що може виявитися неефективним, якщо таблиця велика. Дуже велика таблиця може взагалі не вміститися в пам'яті. І тоді інтерполяція або апроксимація стають загальним рішенням проблеми.

Інтерполяція всього набору даних зручна в тому випадку, якщо їх небагато: перевага в порівнянні з інтерполяцією між сусідніми значеннями полягає в істотно більшої точності. Так, поліноміальна інтерполяція матиме вищий порядок. Іноді точок порівняно небагато, але потрібно отримати безліч проміжних значень. Компактна інтерполяціонная залежність (формула), якщо її вдається отримати, служить свого роду стислим поданням вихідної інформації, що зручно для подальших обчислень.

Підводні камені

Інтерполяція більш ніж десяти значень практично непридатна, оскільки ускладнення швидко призводить до втрати стійкості, і замість часто очікуваної гладкою, повільно змінюється залежно, виходить сильно звивається крива. Приблизно ті ж складності є і в апроксимації. Очевидно, що за інших рівних умов складність апроксимуючої залежності буде нижче, ніж у інтерполюючої, так як перша не зобов'язана точно потрапляти в вузлові точки. Лінійна або квадратична поліноміальна апроксимація може в ряді випадків добре описувати масив з більш ніж двох або трьох точок, причому число точок може бути велике. Інтерполяція більш ніж десяти значень практично непридатна, оскільки ускладнення швидко призводить до втрати стійкості, і замість часто очікуваної гладкою, повільно змінюється залежно, виходить сильно звивається крива Якщо при апроксимації закон "вгаданий" (або був відомий заздалегідь) точно, то похибка в наближенні вузлів може бути вкрай мала. На жаль, дуже часто закон заздалегідь невідомий або занадто складний для обчислення. Всі експериментальні дані можна умовно розділити на "хороші" і "погані". Хороші дані відрізняються один від одного в межах порядку та не мають особливостей. Погані можуть містити занадто великі значення похідних, змінюватися на кілька порядків. Прикладом поганих даних є S-образна залежність, у якій похідна терпить розрив в точці перегину.
Апроксимації (від лат. Approximo - наближаюся), заміна одних математичних об'єктів (наприклад, чисел або функцій) іншими, більш простими і в тому чи іншому сенсі близькими до вихідних (наприклад, кривих ліній близькими до них ламаними).
ІНТЕРПОЛЯЦІЯ (від лат. Interpolatio - зміна, переробка), в математиці і статистиці відшукання проміжних значень величини по деяких відомих її значень. Наприклад, відшукання значень функції f (x) в точках x, що лежать між точками xo

"Універсальна енциклопедія Кирила і Мефодія"
(адреса сервера в мережі Інтернет www.km.ru ).


Апроксимація поганих даних може бути виконана, якщо обрана вдала система функцій. Для нашого прикладу S-образної залежності такою функцією може бути арктангенс. Зміна функції більш ніж на порядок призводить до низької точності апроксимації в області малих значень, якщо тільки не були зроблені спроби домогтися низької відносної, а не абсолютної похибки. Зменшити динамічний діапазон (область значень) можна логарифмування. Потрібно тільки позбутися від особливості в нулі зрушенням і / або масштабуванням, апроксимувати логаріфміровать дані, а потім повернутися в вихідні координати взяттям показовою функції. Якщо з яких-небудь причин логарифмирование небажано або неможливо, то залишається КУСКОВО апроксимація, основна проблема якої - гладка зшивання ділянок.

Одним з методів подолання "плохости" даних є застосування адаптивної апроксимації, що полягає в підборі зумовлених базисних функцій по трикутнику Паскаля з подальшою оптимізацією по дисперсії. Цей метод був розвинений Володимиром Устинович Сідигановим, який створив широко відому карту-модель Москви, і реалізований у вигляді програми Approx (Simple Formula). В деякому спекулятивному розумінні вона дозволяє "вгадати" закон, що описує дані. Автор не підтримує цю програму і надає її безкоштовно.

Суб'єктивізм і об'єктивність

Іноді оптимальна в сенсі найменших квадратів або модулів апроксимація виглядає незадовільною. Наприклад, якщо залежність повинна точно "виходити з нуля", то це досягається застосуванням методів апроксимації, що допускають зважування точок. Якщо середньоквадратичне відхилення складає близько 0,001, то нулю в такому прикладі можна приписати велику вагу - скажімо, 1000. На жаль, зважування може сильно "зіпсувати" поведінку апроксимації далеко від нуля - як в сенсі дисперсії, так і за зовнішнім виглядом (наприклад, можуть виникнути небажані перегини). Поліноміальна апроксимація, часто застосовується через її простоти, нерідко задовольняє статистичними критеріями, але не витримує критики дослідника. Справа в тому, що інтуїція людини накладає додаткові обмеження, що не враховуються програмами апроксимації. Намагаючись змусити криву проходити "так, як треба", дослідник підбирає ваги для точок, вносячи неймовірний і не піддається кількісної характеризації суб'єктивізм. Часто з'являється бажання уточнити апроксимацію, додаючи до неї додаткові функції. Це вдається зробити тільки в разі апроксимації відрізками рядів Фур'є або ще більш складними методами.

Деякі з таких методів практично повністю виключають суб'єктивізм у виборі функцій з заданого набору. Проте залишається проблема довільного зважування точок і вибору вихідного функціонального базису. Часто виявляється, що точок мало, а розкид великі, і значимого відмінності від лінійної залежності в сенсі критерію Фішера немає. Щоб змусити програму адекватно реагувати на інтуїцію користувача, доводиться призначати велику вагу хоча б одній точці, або змінити порядок додавання функцій в базисі. Все це, звичайно, не дуже добре. Мабуть, до цих пір не існує жодного способу отримати об'єктивну апроксимацію, якщо ніхто не знає закон, що описує експериментальні (табличні) дані. Під законом тут може також розумітися апріорне знання про базис апроксимації.

Сплайни і їх приборкання

Проведення лінії через задані точки або поблизу цих точок, що виконується за допомогою набору кривих, гладко переходять одна в одну (сплайнів), є одним із широко використовуваних способів апроксимації та інтерполяції. Проведення лінії через задані точки або поблизу цих точок, що виконується за допомогою набору кривих, гладко переходять одна в одну (сплайнів), є одним із широко використовуваних способів апроксимації та інтерполяції Сплайни дійсно здатні забезпечити хороше наближення даних, які подаються у вигляді графіка. Однак обсяг коефіцієнтів сплайн-інтерполяції може перевищувати обсяг вихідних даних, і витрати часу процесора на роботу з сплайнами можуть виявитися вельми великі при необхідності їх циклічного використання в програмах. Багато програмні пакети, гордовито пропонують набори сплайнів для наближення даних, використовують їх досить неакуратно: між точками часто з'являються гладкі сходинки або навіть сильно звиваються петлі, похідна в крайніх точках не та, яку диктує фізичний зміст ... Виявляється, що правильна поведінка на краях вимагає модифікації методу інтерполяції (апроксимації) сплайнами, а для виключення петлеутворення потрібно будувати наближення сплайнами для xn і yn окремо (n - номер точки), розраховувати інтерпольовані зн чення Xm і Ym (m = kn, де 0 Поверхні Ми бачимо, що навіть одномірне наближення - непросте завдання. Що робити в разі двовимірних залежностей? Якщо відомий закон - проблеми немає, а якщо він не відомий? Найпростіший спосіб - застосування лінійних і квадратичних форм: z = ax + by і z = ax2 + by2 + cxy + dx + ey. На цей випадок легко узагальнюються методи одновимірної апроксимації, можуть бути використані лише значень апроксимуючих функцій, а не значень змінних. Як видно, до проблем об'єктивності одновимірної апроксимації додається волюнтаризм вибору форми залежності z (x, y).

Проблема великого шуму

Якщо в експерименті рівень шуму досягав 50% і більше, то такі дані потрібно попередньо відфільтрувати (в тому випадку, коли застосовується метод апроксимації сам цього не робить). Один з найпростіших способів фільтрації - усереднення. Це може бути і усереднення результатів паралельних дослідів, і ковзне середнє, і імітація фільтра верхніх частот (дані розглядаються як певний сигнал). Останнє псує і самі дані. Це потрібно для того, щоб не апроксимувати шум. До речі, в сучасних дослідженнях шум часто несе більше інформації, ніж основна тенденція розвитку процесу (тренд), тому фільтрація і усереднення в цьому випадку протипоказані. Якщо рівень шуму становить 100% і більше, а його спектр досить широкий, то впоратися з ним буде непосильним завданням для будь-якого фільтра. Можна спробувати застосувати спектральний аналіз в надії виключити резонансні частоти в шумовий області і відновити сигнал в фільтрованому вигляді. Найчастіше це не вийде, так як характеристики і сигналу, і шуму нестаціонарні.

Аналіз нестаціонарних сигналів можна провести з використанням віконного перетворення Фур'є. Йдеться про "розгляданні" даних через вікно заданої ширини, приблизно рівній (по теоремі Котельникова-Найквіста) двійці, поділеній на максимальну частоту. Таке вікно рухають уздовж абсциси по всій області визначення даних. Віконне перетворення має один істотний недолік, пов'язаний із співвідношенням невизначеності Гейзенберга: неможливо одночасно отримати гарну дозвіл по частоті і координаті. Цей недолік долається вейвлет-перетворенням.

Термін "вейвлет" означає "маленька хвиля". Вейвлет є масштабне перетворення і зрушення уздовж абсциси якоїсь вихідної функції, званої "материнським вейвлетом":

y (x, a, b) = f (t - b)

Вейвлет-перетворення аналогічно перетворенню Фур'є, але в результаті виходить двовимірна залежність C (a, b). Параметри цієї залежності (a - масштаб, b - зсув), мають сенс зворотної частоти (ширина вікна) і координати (x). З деякою натяжкою C (a, b) можна назвати спектрограммой. Завдяки зміні параметра a вдається подолати невизначеність Гейзенберга. Дискретним вейвлет-перетворенням називається таке вейвлет-перетворення, в якому a приймає значення, рівні ступеням двійки. У цьому випадку саме перетворення зводиться до древовидному фільтру верхніх і нижніх частот і надзвичайно ефективно розраховується. Виявляється, застосування дискретного вейвлет-перетворення, незважаючи на грубу сітку значень a, дозволяє дуже точно відтворити початковий сигнал, навіть якщо діапазон a не надто великий. Пригнічуючи малозначні C (a, b) на кожному масштабі a, можна відфільтрувати сигнал з вражаючою селективність. Іноді це можна зробити автоматично, але іноді потрібно інтерактивний підбір рівнів значущості (порогів). На відміну від традиційних алгоритмів фільтрації пряме і зворотне дискретне вейвлет-перетворення з граничними обмеженнями (thresholding) не псує основний сигнал, навіть якщо рівень шуму більше 100%. Змінюючи величину порога на різних масштабах, можна візуалізувати або придушити практично з будь-яким ступенем наближення особливості сигналу: імпульси, скачки, коливання з різними частотами. При цьому тренд зберігається. Вибір вейвлета - справа мистецтва і навички. Фахівці навіть розробляють свої вейвлети для конкретних цілей. Так, вейвлет Хаара (Haar) - сходинка - відчуває, тобто добре виділяє, перемикання, а вейвлет Добечі (Daubechies) з великим числом нульових моментів - різні особливості в широкому інтервалі частот. Головна риса будь-якого вейвлета - обмеженість його області визначення. Відзначимо, що крім вибору вейвлета є ще проблема "конуса впливу", яка полягає в тому, що різко починається або обривається сигнал (наявність постійної складової, відмінною від нуля на краях його області визначення) сприймається як особливість (стрибок), що вносить помітний внесок в прилеглих областях (a, b). Характер реакції на розрив похідної - клинчасте зростання C (a, b) по абсолютній величині. Якщо відміну від нуля постійної складової у кожної межі області визначення чисельно дорівнює приблизно половині її протяжності, то замість сигналу вейвлет-аналіз буде інтерпретувати ці скачки при всіх b, тобто внесок стрибків у C (a, b) буде значний у порівнянні з внеском сигналу або навіть більше останнього.

Існують статистичні методи оцінки конуса впливу. Щоб позбутися від цього неприємного ефекту, потрібно відняти значення на одному з його кінців (наприклад, на лівій межі), а значення на іншому продовжити уздовж абсциси на ширину області визначення. В цьому випадку конус впливу ніколи не дійде до області визначення сигналу. Зрозуміло, значення C (a, b) при b від xмакс до xмакс + xмін ([xмін, xмакс] - область визначення даних) слід виключити. Після відновлення даних за допомогою зворотного перетворення потрібно не забути додати значення на лівій межі.

Можливість виділити тренд на тлі потужного шуму дозволяє центрувати вихідні дані шляхом його вирахування. Аналіз зосереджених даних дає більш чітку інформацію як про шум, так і про інші особливості досліджуваного процесу. Так виявляється, що фільтрація, нищівна інформацію про шум і особливості, буває вельми корисна саме для більш докладного вилучення знань про них. Вейвлет-аналіз може бути виконаний за допомогою безкоштовного пакета WaveLab для MatLab 4.x, wavelet-пакета для MatLab 5.x (MatLab - комерційна програма), є програми на Фортране-77, Фортране-90 і Сі в Інтернеті, поширювані вільно .

підсумок

Наближення даних - непроста і погано формалізується завдання, тому навряд чи найближчим часом можна буде говорити про автоматичні процедурах інтерполяції або апроксимації. Великі масиви даних вимагають при використанні вейвлет-аналізу досить великого обсягу обчислювальної роботи, тому застосовується комп'ютер повинен мати достатньо оперативної пам'яті і високу швидкодію. Використання тих чи інших методів інтерполяції або апроксимації має бути ретельно обґрунтоване, оскільки воно обумовлено як типом даних, так і метою наближення. Апроксимацію виконують програмні пакети MatLab, Mathematica, MathCAD, Grapher, Approx, Origin і багато інших. Вибір тих чи інших засобів залишається за користувачем.
КОРОТКО ПРО АВТОРА: Голуб Михайло - кандидат технічних наук, науковий співробітник лабораторії стабільних ізотопів кафедри фізичної хімії Хімічного факультету МДУ,
Email: [email protected] , [email protected] ,
http://www.aha.ru/~golub .

Що робити в разі двовимірних залежностей?
Якщо відомий закон - проблеми немає, а якщо він не відомий?